Dicas para resolução de questões de Raciocínio Lógico

Aperfeiçoe seu aprendizado para provas de Raciocínio Lógico em concursos públicos para diversos órgãos do país.

Uma das matérias presentes em oito de cada 10 concursos públicos é Raciocínio Lógico, o que indica claramente a necessidade de domínio do assunto. Pensando em contribuir para o aprendizado dos candidatos, preparamos algumas dicas essenciais, complementadas com questões comentadas, as quais, sem dúvidas, farão a diferença naquela prova tão esperada.

Vamos começar com um pouco de teoria...

Lógica

A lógica é uma disciplina onde se faz a associação de ideias, onde se avalia as implicações de uma determinada afirmação.

Estruturas lógicas

Uma estrutura lógica é uma avaliação de proposições. Esse é o nome dado a toda sentença que podemos classificar como verdadeira ou falsa (nunca como ambos). Por exemplo, a proposição “o número 2 é par” é verdadeira.

conectivos lógicos que podem ser usados para unir as proposições umas as outras ou para transformá-las em uma terceira proposição.

- Conjunção (símbolo ^, “e”): une duas proposições para formar uma terceira. Esta só será verdadeira se as duas proposições originais forem verdadeiras. Por exemplo:

“2 é par e 3 é primo” é uma proposição verdadeira (pois “2 é par” e “3 é primo” são ambas verdadeiras).

- Disjunção (símbolo v, “ou”): o resultado é verdadeiro se pelo menos uma das proposições originais for verdadeira. Por exemplo:

“2 é par ou 3 é múltiplo de 2” é uma proposição verdadeira (embora “3 é múltiplo de 2” seja falso, “2 é par” é verdadeiro).

- Condicional (símbolo ->, “se...então”): ele dá uma relação de condição entre duas proposições. Se a primeira proposição for verdadeira isso significa que a segunda também será. Por exemplo:

Se choveu então o gramado está molhado

A primeira proposição “choveu” pode ser verdadeira ou não. Se ela for verdadeira (se tiver chovido) então necessariamente o gramado estará molhado. Se ela for falsa, você não pode afirmar nada sobre o gramado.

ATENÇÃO: A ordem das proposições é importante! Se o gramado estiver molhado você não pode garantir que choveu!

Uma maneira alternativa de escrever a condicional é através da dupla negativa:

Se o gramado não estiver molhado choveu então não choveu.

Saber que o gramado está seco é suficiente para garantir que não houve chuva.

Esse é um dos conectivos mais difíceis dentro da lógica. Na dúvida, lembre-se do exemplo do gramado.

- Bicondicional (símbolo <->, “se e somente se”): indica uma equivalência entre as proposições. A primeira proposição é verdadeira (falsa) apenas se a segunda for verdadeira (falsa) e vice-versa. Por exemplo:

“10 é maior que 5 se e somente se 5 for menor que 10”

- Negação (símbolo ¬, “não”): se uma proposição for verdadeira (falsa) o uso da negação a torna falsa (verdadeira). Por exemplo:

“2 é impar” é uma proposição falsa. “2 não é impar” é uma proposição verdadeira.

Vamos ver um exemplo:

(IBGE – 2014)

A respeito de um pequeno grupo indígena, um repórter afirmou: “todos os indivíduos do grupo têm pelo menos 18 anos de idade”. Logo depois, descobriu-se que a afirmação a respeito da idade dos indivíduos desse grupo não era verdadeira.

Isso significa que

(A)  todos os indivíduos do grupo têm mais de 18 anos de idade. 


(B)  pelo menos um indivíduo do grupo tem menos de 17 anos de idade. 


(C)  todos os indivíduos do grupo têm menos de 18 anos de idade. 


(D)  pelo menos um indivíduo do grupo tem mais de 18 anos de idade. 


(E)  pelo menos um indivíduo do grupo tem menos de 18 anos de idade. 


Esse é um exercício onde somos informados que a proposição: “todos os indivíduos do grupo têm pelo menos 18 anos de idade” (p1) é falsa e é pedido para se encontrar a negação dessa proposição. Ou seja, buscamos algo que seja equivalente a:

nem todos os indivíduos do grupo têm pelo menos 18 anos de idade” (p2).

ou ainda

pelo menos um dos os indivíduos do grupo têm pelo menos que 18 anos de idade” (p3).

A alternativa (A) é equivalente à proposição original (p1), portanto essa não é a resposta que buscamos.

A alternativa (B) usa uma idade diferente da mencionada. É possível que ela seja verdadeira, mas não podemos afirmar que isso seja, de fato, o que acontece. Se (B) for verdade, então (p2) será verdadeiro. Mas (p2) verdadeiro não garante (B) verdadeiro. Se no grupo indígena tivéssemos uma pessoa com 17 anos e as demais com 18, por exemplo, (p2) seria satisfeita, mas (B) estaria errado.

Na alternativa (C) acontece algo semelhante à (B). Se (C) for verdade, então (p2) será verdadeiro. Mas (p2) verdadeiro não garante (C) verdadeiro. A existência de pelo menos um indivíduo com menos de 18 anos é suficiente para satisfazer a (p2). Não é necessário que todos tenham menos de 18 anos.

A (D) não é a resposta buscada pois ter ao menos um indivíduo com mais de 18 anos não significa que teremos pelo menos um com menos de 18.

A resposta (E) é a correta. A negação da (p1) significa que pelo menos um dos indivíduos tem uma idade menor que 18 anos.

Lógica de argumentação;

Na lógica de argumentação você vai avaliar uma séria de proposições (as premissas ou hipóteses) e ver qual a conclusão lógica à qual elas levam. Por exemplo as premissas:

“Todo ser humano tem mãe” (premissa 1) e “Todos os homens são humanos” (premissa 2) permite concluir que “Todos os homens têm mãe” (conclusão).

Diagramas lógicos

Os diagramas são representações gráficas de estruturas lógicas. Um exemplo comum desse tipo de representação são os diagramas de Venn que relacionam conjuntos. Aqui, todos os elementos com características semelhantes são colocados em um único conjunto. Por exemplo:

- o conjunto dos números primos

- o conjunto das pessoas com idade entre 20 e 30 anos

- o conjunto de pessoas que vão prestar o concurso público do IBGE

Os diagramas de Venn permitem visualizar as seguintes operações lógicas:

- Inclusão (relacionado com “se...então” e com “se e somente se”)

A ideia de que se um elemento pertence ao conjunto A então ele também pertence ao conjunto B pode ser expressa como:

postlogica

Ou seja, o conjunto A está contido em B. Por exemplo, se A for o conjunto dos números múltiplos de 4 e B for o conjunto dos números pares, teremos A contido em B.

Se A for verdadeiro se e somente se B for verdadeiro, então os conjuntos A e B são equivalentes.

postlogica

- Intersecção (relacionado com “e”)

Um elemento que pertence ao conjunto A e ao conjunto B se encontra na intersecção desses conjuntos (a parte do diagrama onde os dois conjuntos estão sobrepostos).

postlogica

- União (relacionado com “ou”)

Um elemento que pertence ao conjunto A ou ao conjunto B se encontra na união desses conjuntos.

postlogica

- Disjunção (relacionado com “não”)

Todos os elementos que não pertencem a A encontram-se no complementar de A, denotado por Ac.

post

Vamos ver um exemplo?

(IBGE - 2013)

Num concurso, cada um dos 520 candidatos inscritos fez uma prova de português e uma de matemática. Para ser aprovado, o candidato deve ser aprovado em ambas as provas. O número de candidatos que foi aprovado em matemática é igual ao triplo do número de candidatos aprovados no concurso, e o número de candidatos aprovados em português é igual ao quádruplo do número de candidatos aprovados no concurso. O número de candidatos não aprovados em nenhuma das duas provas é igual a metade do número de candidatos aprovados no concurso.

Quantos candidatos foram aprovados ao todo?

(A) 60

(B) 80

(C) 100

(D) 120

(E) 130

Essa é uma questão que envolve um pouco de álgebra mas que pode ser montada mais facilmente usando diagramas de Venn. Temos dois conjuntos, o de pessoas que foram aprovadas em matemática e o de pessoas que foram aprovadas em português. Sabemos que algumas pessoas foram aprovadas em ambos, então há uma sobreposição entre A e B.

Para facilitar a notação, vamos chamar de X o número de candidatos aprovados, ou seja, o número de candidatos na intersecção de A e B.

O enunciado diz que “o número de candidatos que foi aprovado em matemática é igual ao triplo do número de candidatos aprovados no concurso”. No total B tem 3X candidatos. Então o pedaço de B que não faz intersecção com A tem 2X candidatos (os 3X menos o X da intersecção).

Além disso “o número de candidatos aprovados em português é igual ao quádruplo do número de candidatos aprovados no concurso”. Portanto A tem 4X elementos e a parte de A que não faz intersecção com B tem 3X elementos.

Como “o número de candidatos não aprovados em nenhuma das duas provas é igual a metade do número de candidatos aprovados no concurso” a parte exterior do diagrama tem X/2 elementos.

Essas informações estão anotadas no diagrama a seguir:

post

No total há 520 candidatos. Isso deve ser a soma do número de elementos em cada pedaço do diagrama:

2X+X+3X+X/2=520

Resolvendo essa equação encontramos X= 80.

Aritmética;

Na aritmética se usa as quatro expressões básicas (soma, subtração, multiplicação e divisão) para obter o resultado buscado.

 (IBGE - 2014)

Juninho brinca com uma folha de papel da seguinte forma: corta-a em 6 pedaços, depois apanha um desses pedaços e o corta em 6 pedaços menores; em seguida, apanha qualquer um dos pedaços e o corta, transformando-o em 6 pedaços menores. Juninho repete diversas vezes a operação: apanhar um pedaço qualquer e cortá-lo em 6 pedaços. Imediatamente após uma dessas operações, ele resolve contar os pedaços de papel existentes.

Um resultado possível para essa quantidade de pedaços de papel é

(A) 177

(B) 181

(C) 178

(D) 180

(E) 179

Inicialmente Juninho corta o papel em 6 pedaços.

Quando ele pega um pedaço e corta novamente em 6 ele fica com: 5 pedaços grandes (um dos pedaços foi usado para originar os 6 médios) + 6 pedaços médios=11 pedaços = 5+6

Quando ele repete o procedimento ele fica com: 5 pedaços grandes + 5 pedaços médios + 6 pedaços pequenos = 16 pedaços = 2.5 + 6

Qualquer que seja o número de vezes que ele repita o procedimento, o número de pedaços sempre será algo do tipo: (número inteiro).5+6. Ele sempre deixa 5 pedaços do tamanho anterior e usa o sexto pedaço para cortar em 6. Logo a alternativa correta será aquela onde o número apresentado é igual a um múltiplo de 5 somado de 6. Uma forma de verificar isso facilmente é subtrair 6 das alternativas e, então, ver qual delas dá um resultado que é múltiplo de 5:

(A) 177 -6 = 171, não é múltiplo de 5

(B) 181 -6 = 175, é múltiplo de 5

(C) 178 -6 = 172, não é múltiplo de 5

(D) 180 -6 = 174, não é múltiplo de 5

(E) 179 -6 = 173, não é múltiplo de 5

Álgebra

Na álgebra nós também usamos as operações fundamentais, mas agora podemos usar letras além de números.

 (IBGE - 2014)

Uma peça de madeira de formato retangular de dimensões 20 cm × 45 cm será repartida em duas peças pelas linhas tracejadas, conforme a Figura a seguir.

postlogica

Com as peças obtidas, pode-se montar um quadrado. Para isso, considerando x e y assinalados na Figura, o valor de x + y é de

(A)  30 


(B)  10 


(C)  25 


(D)  15 


(E)  20 


A figura forma um quadrado ao ser recortada o que só pode ser feito se movermos o pedaço da direita para cima e para a esquerda. Como esses dois pedaços vão se encaixar perfeitamente então há algumas medidas que precisam ser iguais. A figura abaixo mostra os lados que devem ter a mesma medida

postlogica

Olhando a figura vemos que a altura total do retângulo tem que ser igual a 2x e que a largura deve ser igual a 3y. Portanto:

2x=20cm

3y=45cm

Ou seja:

x=10cm

y=15cm

E

x+y=10+15=25cm (alternativa (C))

Geometria básica

Nesta área se trabalha com figuras geométricas planas ou objetos tridimensionais. Essa é uma área bastante ampla, mas há alguns conceitos básicos que ajudam bastante:

 - Perímetro: é o comprimento do contorno da figura geométrica.

Em um quadrado com lados medindo d o perímetro é: 4.d

Em um retângulo com base b e altura h o perímetro é: 2b+2h

Em um círculo com raio r o perímetro é: 2πr

 - Área: é o espaço em duas dimensões ocupado por uma figura geométrica plana.

Em um quadrado com lados medindo d a área é: d2

Em um retângulo com base b e altura h a área é: b.h

Em um círculo com raio r a área é: πr2

 - Volume: é o espaço em três dimensões ocupado por um objeto tridimensional.

Em um cubo com lados medindo d o volume é: d3

Em um paralelepípedo com base b, altura h e profundidade p, o volume é: b.h.p

Em uma esfera com raio r o volume é: 4πr3/3

 (IBGE - 2014)

Três herdeiros, Arnaldo, Bruno e Paulo, dividiram um terreno quadrado de 42 metros de lado em três terrenos retangulares de áreas iguais. A Figura abaixo mostra a divisão e a parte que coube a cada um.

postlogica

O perímetro, em metros, do terreno retangular destinado a Bruno é

 (A) 588

(B) 105

(C) 147

(D) 112

(E) 126

Nós sabemos qual a altura do retângulo do Bruno (é igual a medida do lado do quadrado). Para calcular o perímetro precisamos conhecer o comprimento da base do retângulo.

Já que área dos herdeiros devem ser todas igual, a área que ficará para cada um deles deve ser igual a 1/3 da área total. Como o terreno inteiro é um quadrado com lado de 42 metros a área total é igual a 422m2. Portanto a área do terreno do Bruno será igual a (422/3)m2.

A área do Bruno é igual a medida da base do retângulo vezes a altura. A altura já sabemos que é igual a 42m, portanto:

(422/3) = 42.b

 ou seja: b=42/3 = 14

O perímetro de um retângulo é igual a duas vezes o comprimento da altura somado com duas vezes o comprimento da base, portanto temos:

Perímetro = 2.42 + 2.b = 2.42+2.14 = 2.56 = 112m (alternativa (D)).

Qualquer que seja o assunto cobrado na área de raciocínio lógico lembre-se: o mais importante é ficar calmo e ler o exercício com cuidado. Garanta que você conseguiu extrair todas as informações presentes no enunciado do exercício antes de começar a resolvê-lo. Bons estudos e boa prova!

Tópico: IBGE

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