Dicas de Matemática: Combinações, Probabilidades, Arranjos

Análise Combinatória e Probabilidade

A análise combinatória é uma disciplina com o objetivo de contar possibilidades em um grupo finito de objetos. Por exemplo, dado que você tenha um certo grupo com N objetos você pode tentar formar um agrupamento com p objetos (p≦N). Quantos agrupamentos diferentes podem ser formados? Essa é uma pergunta que a Análise Combinatória pode fazer.

Os três principais tipos de agrupamentos são os arranjos, combinações e permutações.

Arranjos

Arranjos são agrupamentos nos quais a ordem dos seus elementos faz a diferença. Eles podem ser simples ou com repetição.

Arranjo simples

Imagine que você tem três esferas com os números 1, 2 ou 3 escritos nelas. Você quer sortear duas de modo a formar um número com dois dígitos, onde o primeiro (segundo) número sorteado será a dezena (unidade) deste número. Por exemplo, ao sortear 2 e depois 3 o número obtido é 23. Quais os possíveis números com 2 dígitos que podem ser formados dessa forma?

Se listarmos as opções teremos: 31, 32, 13, 12, 21, 23. Esse é um arranjo simples, pois a ordem dos elementos é importante e nenhum elemento é repetido.

Em geral, dado um número n de elementos dos quais sortearemos p (p≦n) estamos interessados em saber o número de opções que podem ser formadas. Isso é descrito como o arranjo simples de n objetos, p a p. No caso do exemplo: n=3, p=2 e o número de opções é 6. Em um caso mais geral o número de opções pode ser calculado como:

Onde o símbolo “!” indica o fatorial do número. Por exemplo: 5! = 5x4x3x2x1.

Arranjo com repetição

No caso do arranjo com repetição novamente nos importamos com a ordem dos elementos, mas agora um mesmo elemento pode ser sorteado mais de uma vez. No exemplo anterior onde os “objetos” sendo sorteados são as esferas com os números 1, 2 e 3 as opções no arranjo com repetição serão: 31, 32, 13, 12, 21, 23, 11, 22, 33.

Dado um número n de elementos dos quais sorteamos p (p≦n), com repetição, quantas opções de arranjo com repetição existem? No caso do exemplo: n=3, p=2 e o número de opções é 9. Em um caso mais geral o número de opções pode ser calculado como:

Combinações

Combinações são agrupamentos nos quais a ordem dos seus elementos não é importante. Eles podem ser simples ou com repetição.

Combinação simples

Suponha que você continua com as três esferas com os números 1, 2 ou 3 escritos nelas e você vai, novamente, sortear duas. Mas agora você não se importa com a ordem. Ou seja, sortear 1 e 3 é equivalente a sortear 3 e 1. Neste caso quais os possíveis elementos sorteados?

As opções serão: {31}, {32}, {21}. Essa é uma combinação simples, pois a ordem dos elementos não é importante e nenhum elemento é repetido.

Em um caso geral onde se tem n elementos dos quais sortearemos p (p≦n), sem levar em conta a ordem em que os elementos são sorteados o número de opções será:

No caso do exemplo, n=3, p=2 e o número de opções é 3.

Combinação com repetição

Se um mesmo elemento puder ser sorteado mais de uma vez teremos uma combinação com repetição. No caso do exemplo as opções passariam a ser: {31}, {32}, {21}, {11}, {22}, {33}.

Em um caso geral onde se tem n elementos dos quais sortearemos p (p≦n), com repetição o número de opções será:

No caso do exemplo, n=3, p=2 e o número de opções é 6.

Permutações simples

Considere que há três pessoas (que vamos chamar de A, B e C) que vão entrar em uma fila. De quantas maneiras distintas essas pessoas podem ser ordenadas na fila? Essas reorganizações são chamadas de permutações. As opções seriam: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.

Note que as permutações são equivalentes a arranjos simples para o caso especial onde n=p. Então para o caso geral de n elementos o número de permutações possíveis será:

..........

Probabilidade de um evento

Ao jogar um dado você pode obter 6 números. Se você tivesse que apostar entre as opções: “o número obtido será par” e “o número obtido será igual a 3”, qual seria a opção escolhida? Intuitivamente sabemos que é mais provável que a primeira opção aconteça, afinal de contas ela será verdadeira se obtivermos 2, 4 ou 6, enquanto a segunda só será verdadeira se obtivermos o número 3. Mas como podemos quantificar essa informação? É isso que a probabilidade busca fazer.

Há dois conceitos importantes para o cálculo de probabilidades:

Experimento aleatório

É um experimento cujo resultado pode mudar a cada vez que ele é repetido, os resultados ocorrem ao acaso. Por exemplo, a cada vez que jogamos o dado podemos encontrar qualquer um dos 6 números. Saber qual o número obtido na rodada anterior não ajuda a saber qual o número que será obtido na próxima.

Espaço amostral

É o nome dado ao conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. Por exemplo, no experimento aleatório de ”jogar o dado” o espaço amostral é:

S = {1,2,3,4,5,6}

Um espaço amostral de experimento aleatório onde todas as possibilidades são igualmente prováveis é chamado de espaço amostral equiprovável. Nessa situação a probabilidade de um evento A acontecer é dada por:

P(A) = (número de elementos de A)/(número de elementos de S)

A probabilidade de um evento é sempre um número entre 0 (zero) e 1 (um), sendo que quanto mais próximo de 1 maior a chance do evento acontecer ao se realizar o experimento aleatório.

Vamos voltar a pergunta inicial, ao jogar um dado é mais provável que “o número obtido seja par” (evento A) e “o número obtido seja igual a 3” (evento B)?

O espaço amostral desse experimento aleatório é S = {1,2,3,4,5,6} e, portanto, possui 6 elementos.

O evento A consiste em A={2,4,6}, logo possui 3 elementos.

O evento V corresponde a B = {3}, com um único elemento

Portanto:

P(A) = (número de elementos de A)/(número de elementos de S) = 3/6 = 1/2

P(B) = (número de elementos de B)/(número de elementos de S) = 1/6

Como ½ é maior que 1/6 o evento A é mais provável que o evento B. E agora sabemos que e três vezes mais provável que o evento A aconteça do que o evento B: P(A) = 3.P(B).

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